Autocorrelación De Un Proceso De Media Móvil

Autocorrelación del proceso de media móvil Este ejemplo muestra cómo introducir la autocorrelación en un proceso de ruido blanco mediante filtrado. Cuando introducimos la autocorrelación en una señal aleatoria, manipulamos su contenido de frecuencia. Un filtro de media móvil atenúa los componentes de alta frecuencia de la señal, suavizando eficazmente. Cree la respuesta de impulso para un filtro de media móvil de 3 puntos. Filtre una secuencia de ruido blanco N (0,1) con el filtro. Configure el generador de números aleatorios a la configuración predeterminada para obtener resultados reproducibles. Obtener la autoevaluación de la muestra sesgada a 20 lags. Trazar la autocorrelación de la muestra junto con la autocorrelación teórica. La autocorrelación muestra captura la forma general de la autocorrelación teórica, aunque las dos secuencias no están de acuerdo en detalle. En este caso, está claro que el filtro ha introducido una autocorrelación significativa sólo en los desfases -2,2. El valor absoluto de la secuencia decae rápidamente a cero fuera de ese intervalo. Para ver que el contenido de frecuencia ha sido afectado, trazar las estimaciones de Welch de las densidades espectrales de potencia de las señales originales y filtradas. El ruido blanco ha sido coloreado por el filtro de media móvil. MATLAB y Simulink son marcas registradas de The MathWorks, Inc. Consulte mathworks / marcas comerciales para obtener una lista de otras marcas comerciales propiedad de The MathWorks, Inc. Otros nombres de productos o marcas son marcas comerciales o marcas registradas de sus respectivos propietarios. Seleccione su país2.1 Modelos de media móvil (modelos MA) Los modelos de series temporales conocidos como modelos ARIMA pueden incluir términos autorregresivos y / o términos de media móvil. En la semana 1, aprendimos un término autorregresivo en un modelo de series de tiempo para la variable x t es un valor retrasado de x t. Por ejemplo, un término autorregresivo de retardo 1 es x t-1 (multiplicado por un coeficiente). Esta lección define los términos del promedio móvil. Un término medio móvil en un modelo de serie temporal es un error pasado (multiplicado por un coeficiente). Dejamos (wt desbordamiento N (0, sigma2w)), lo que significa que los w t son idéntica, independientemente distribuidos, cada uno con una distribución normal que tiene la media 0 y la misma varianza. El modelo de media móvil de primer orden, denotado por MA (1) es (xt mu wt theta1w) El modelo de media móvil de segundo orden, denotado por MA (2) es (xt mu wt theta1w theta2w) , Denotado por MA (q) es (xt mu wt theta1w theta2w puntos thetaqw) Nota. Muchos libros de texto y programas de software definen el modelo con signos negativos antes de los términos. Esto no cambia las propiedades teóricas generales del modelo, aunque sí cambia los signos algebraicos de los valores estimados de los coeficientes y los términos (no cuadrados) en las fórmulas para las ACF y las varianzas. Usted necesita comprobar su software para verificar si los signos negativos o positivos se han utilizado con el fin de escribir correctamente el modelo estimado. R utiliza signos positivos en su modelo subyacente, como lo hacemos aquí. Propiedades teóricas de una serie temporal con un modelo MA (1) Tenga en cuenta que el único valor distinto de cero en el ACF teórico es para el retardo 1. Todas las demás autocorrelaciones son 0. Por lo tanto, una ACF de muestra con una autocorrelación significativa sólo con el retardo 1 es un indicador de un posible modelo MA (1). Para los estudiantes interesados, las pruebas de estas propiedades son un apéndice a este folleto. Ejemplo 1 Supongamos que un modelo MA (1) es x t 10 w t .7 w t-1. Donde (wt overset N (0,1)). Así, el coeficiente 1 0,7. El ACF teórico se da por un diagrama de esta ACF sigue. La gráfica que se muestra es la ACF teórica para un MA (1) con 1 0,7. En la práctica, una muestra no suele proporcionar un patrón tan claro. Utilizando R, simulamos n 100 valores de muestra utilizando el modelo x t 10 w t .7 w t-1 donde w t iid N (0,1). Para esta simulación, sigue un diagrama de series de tiempo de los datos de la muestra. No podemos decir mucho de esta trama. A continuación se muestra el ACF de muestra para los datos simulados. Observamos un pico en el retraso 1 seguido por valores generalmente no significativos para los retrasos de 1. Obsérvese que la muestra ACF no coincide con el patrón teórico del MA subyacente (1), que es que todas las autocorrelaciones para los retrasos de 1 serán 0.Una muestra diferente tendría una ACF de muestra ligeramente diferente mostrada abajo, pero probablemente tendría las mismas características amplias. Propiedades Terapéuticas de una Serie de Tiempo con un Modelo MA (2) Para el modelo MA (2), las propiedades teóricas son las siguientes: Obsérvese que los únicos valores distintos de cero en la ACF teórica son para los retornos 1 y 2. Las autocorrelaciones para retardos mayores son 0 . Por lo tanto, una muestra de ACF con autocorrelaciones significativas en los intervalos 1 y 2, pero autocorrelaciones no significativas para retardos mayores, indica un posible modelo MA (2). Iid N (0,1). Los coeficientes son 1 0,5 y 2 0,3. Dado que se trata de una MA (2), la ACF teórica tendrá valores distintos de cero sólo en los retornos 1 y 2. Los valores de las dos autocorrelaciones distintas de cero son: Un gráfico del ACF teórico sigue. Como casi siempre es el caso, los datos de la muestra no se comportarán tan perfectamente como la teoría. Se simularon 150 valores de muestra para el modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Donde w t iid N (0,1). A continuación se muestra el gráfico de la serie de tiempo de los datos. Al igual que con el gráfico de la serie de tiempo para los datos de la muestra MA (1), no se puede decir mucho de ella. A continuación se muestra el ACF de muestra para los datos simulados. El patrón es típico para situaciones donde un modelo MA (2) puede ser útil. Hay dos picos estadísticamente significativos en los intervalos 1 y 2, seguidos de valores no significativos para otros desfases. Tenga en cuenta que debido al error de muestreo, la muestra ACF no coincide exactamente con el patrón teórico. ACF para modelos MA (q) Una propiedad de los modelos MA (q) en general es que hay autocorrelaciones no nulas para los primeros q retrasos y autocorrelaciones 0 para todos los retrasos gt q. No unicidad de la conexión entre los valores de 1 y (rho1) en MA (1) Modelo. En el modelo MA (1), para cualquier valor de 1. El 1/1 recíproco da el mismo valor para. Por ejemplo, use 0.5 para 1. Y luego utilice 1 / (0,5) 2 para 1. Youll get (rho1) 0.4 en ambos casos. Para satisfacer una restricción teórica llamada invertibilidad. Limitamos los modelos MA (1) a tener valores con valor absoluto menor que 1. En el ejemplo dado, 1 0,5 será un valor de parámetro permisible, mientras que 1 1 / 0,5 2 no. Invertibilidad de los modelos MA Se dice que un modelo MA es invertible si es algebraicamente equivalente a un modelo de orden infinito convergente. Al converger, queremos decir que los coeficientes de AR disminuyen a 0 a medida que retrocedemos en el tiempo. Invertibilidad es una restricción programada en el software de la serie de tiempo usado para estimar los coeficientes de modelos con términos de MA. No es algo que buscamos en el análisis de datos. En el apéndice se proporciona información adicional sobre la restricción de la invertibilidad para los modelos MA (1). Nota de Teoría Avanzada. Para un modelo MA (q) con un ACF especificado, sólo hay un modelo invertible. La condición necesaria para la invertibilidad es que los coeficientes tienen valores tales que la ecuación 1- 1 y-. - q y q 0 tiene soluciones para y que caen fuera del círculo unitario. Código R para los Ejemplos En el Ejemplo 1, se representó la ACF teórica del modelo x $ _ {t} $ w $ _ {t} $. 7w t - 1. Y luego se simularon 150 valores de este modelo y se representaron las series de tiempo de muestra y la muestra ACF para los datos simulados. Los comandos R usados ​​para trazar el ACF teórico fueron: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 retardos de ACF para MA (1) con theta1 0.7 lags0: 10 crea una variable llamada lags que va de 0 a 10. plot Abline (h0) añade un eje horizontal al diagrama El primer comando determina el ACF y lo almacena en un objeto (a0) Llamado acfma1 (nuestra elección de nombre). El comando plot (el 3er comando) traza retrasos en comparación con los valores ACF para los retornos 1 a 10. El parámetro ylab etiqueta el eje y y el parámetro principal coloca un título en la gráfica. Para ver los valores numéricos de la ACF simplemente utilice el comando acfma1. La simulación y las parcelas se realizaron con los siguientes comandos. Xcarzim. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 agrega 10 para hacer la media 10. La simulación predeterminada significa 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) (X, xlimc (1,10), mainACF para datos de muestra simulados) En el Ejemplo 2, se representó el ACF teórico del modelo xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2. Y luego se simularon 150 valores de este modelo y se representaron las series de tiempo de muestra y la muestra ACF para los datos simulados. Los comandos R utilizados fueron acfma2ARMAacf (mac (0.5.0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 trama (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) con theta1 0,5, (X, typeb, principal serie MA simulado) acf (x, xlimc (1,10), x2) (1) Para los estudiantes interesados, aquí hay pruebas de las propiedades teóricas del modelo MA (1). Cuando x 1, la expresión anterior 1 w 2. Para cualquier h 2, la expresión anterior 0 (x) La razón es que, por definición de independencia del peso. E (w k w j) 0 para cualquier k j. Además, debido a que w t tiene una media 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para una serie de tiempo, aplique este resultado para obtener la ACF indicada anteriormente. Un modelo inversible MA es uno que puede ser escrito como un modelo de orden infinito AR que converge para que los coeficientes AR convergen a 0 a medida que avanzamos infinitamente en el tiempo. Bien demostrar invertibilidad para el modelo MA (1). A continuación, sustituimos la relación (2) por wt-1 en la ecuación (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z - theta2w) En el momento t-2. La ecuación (2) es entonces sustituimos la relación (4) por w t-2 en la ecuación (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Si continuáramos Sin embargo, si 1 1, los coeficientes que multiplican los retrasos de z aumentarán (infinitamente) en tamaño a medida que retrocedemos hacia atrás hora. Para evitar esto, necesitamos 1 lt1. Esta es la condición para un modelo de MA (1) invertible. Infinite Order MA model En la semana 3, veamos bien que un modelo AR (1) puede convertirse en un modelo de orden infinito MA: (xt - mu wt phi1w phi21w puntos phik1 w dots sum phij1w) Esta suma de términos de ruido blanco pasado es conocida Como la representación causal de un AR (1). En otras palabras, x t es un tipo especial de MA con un número infinito de términos remontándose en el tiempo. Esto se llama un orden infinito MA o MA (). Una orden finita MA es un orden infinito AR y cualquier orden finito AR es un orden infinito MA. Recordemos en la semana 1, observamos que un requisito para un AR estacionario (1) es que 1 lt1. Vamos a calcular el Var (x t) utilizando la representación causal. Este último paso utiliza un hecho básico sobre series geométricas que requiere (phi1lt1) de lo contrario la serie diverge. Navegación El primer paso en el desarrollo de un modelo de Box-Jenkins es determinar si la serie es estacionaria y si hay cualquier estacionalidad significativa que necesita ser modelada. La estacionariedad puede evaluarse a partir de un diagrama de secuencia de ejecución. El diagrama de secuencia de ejecución debe mostrar la ubicación y la escala constantes. También se puede detectar a partir de un gráfico de autocorrelación. Específicamente, la no estacionariedad se indica a menudo mediante un gráfico de autocorrelación con una desintegración muy lenta. Diferencia para lograr la estacionariedad Box y Jenkins recomiendan el enfoque de diferenciación para lograr la estacionariedad. Sin embargo, el ajuste de una curva y la sustracción de los valores ajustados de los datos originales también se pueden utilizar en el contexto de los modelos de Box-Jenkins. En la etapa de identificación del modelo, nuestro objetivo es detectar la estacionalidad, si existe, e identificar el orden de los términos estacionales de media móvil autorregresiva y estacional. Para muchas series, el período es conocido y un solo término de la estacionalidad es suficiente. Por ejemplo, para los datos mensuales típicamente incluiríamos un término estacional AR 12 o un término estacional MA 12. Para los modelos de Box-Jenkins, no eliminamos explícitamente la estacionalidad antes de montar el modelo. En cambio, incluimos el orden de los términos estacionales en la especificación del modelo al software de estimación ARIMA. Sin embargo, puede ser útil aplicar una diferencia estacional a los datos y regenerar las gráficas de autocorrelación y autocorrelación parcial. Esto puede ayudar en la identificación del modelo del componente no estacional del modelo. En algunos casos, la diferenciación estacional puede eliminar la mayoría o todo el efecto estacional. Identificar p y q Una vez que se ha abordado la estacionariedad y la estacionalidad, el siguiente paso es identificar el orden (es decir, el (p) y (q)) de los términos de media autorregresiva y móvil. Autocorrelación y parcelas de autocorrelación parcial Las herramientas principales para hacer esto son el gráfico de autocorrelación y el gráfico de autocorrelación parcial. El diagrama de autocorrelación de la muestra y el gráfico de autocorrelación parcial de la muestra se comparan con el comportamiento teórico de estas parcelas cuando se conoce el orden. Orden del proceso autorregresivo (p)) Específicamente, para un proceso AR (1), la función de autocorrelación de la muestra debería tener un aspecto exponencialmente decreciente. Sin embargo, los procesos AR de orden superior suelen ser una mezcla de componentes sinusoidales decrecientes y amortiguados exponencialmente. Para los procesos autorregresivos de orden superior, la autocorrelación de la muestra necesita ser complementada con una gráfica de autocorrelación parcial. La autocorrelación parcial de un proceso AR ((p)) se convierte en cero a lag (p 1) y mayor, por lo que examinamos la función de autocorrelación parcial de la muestra para ver si hay evidencia de una salida de cero. Esto generalmente se determina colocando un intervalo de confianza de 95 en el gráfico de autocorrelación parcial de la muestra (la mayoría de los programas de software que generan gráficas de autocorrelación de muestras también representarán este intervalo de confianza). Si el programa de software no genera la banda de confianza, es aproximadamente (pm 2 / sqrt), con (N) denotando el tamaño de la muestra. La función de autocorrelación de un proceso MA ((q)) se convierte en cero a lag (q 1) y mayor, por lo que examinamos la función de autocorrelación de la muestra para ver dónde se convierte esencialmente en cero. Hacemos esto colocando el intervalo de confianza 95 para la función de autocorrelación de la muestra en la gráfica de autocorrelación de la muestra. La mayoría del software que puede generar el gráfico de autocorrelación también puede generar este intervalo de confianza. La función de autocorrelación parcial de la muestra generalmente no es útil para identificar el orden del proceso de media móvil. Forma de la función de autocorrelación La siguiente tabla resume cómo usamos la función de autocorrelación de la muestra para la identificación del modelo.